Question

如图，在□ABCD中，E ，F分别为边AB, CD的中点，连接DE, BF, BD．

（1）求证：．

（2）当 时，（添加一个条件），四边形BFDE是菱形？请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）添加AD⊥BD．证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC，AB=CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE=CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等；

（2）连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．

试题解析：（1）在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分别为边AB、CD的中点，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）添加AD⊥BD．

理由如下：连接EF，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，

∴DF平行且等于AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴EF∥AD，

∵AD⊥BD，

∴EF⊥BD，

又∵四边形BFDE是平行四边形，

∴四边形BFDE是菱形．

考点：1．菱形的判定；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质．