Question

19．如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上-点．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）判断BD与BE的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形性质求出AC=BC，EC=DC，再证明∠ACD=∠BCE=90°-∠CDB，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠ABC=45°，由全等三角形的性质得出∠CBE=∠BAC=45°，得出∠DBE=90°即可．
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解答 （1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，
∴AC=BC，EC=DC，
∴∠ACD=∠BCE=90°-∠CDB，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）解：BD⊥BE；理由如下：
∵，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠BAC=45°，
∴∠DBE=45°+45°=90°，
∴BD⊥BE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解此题的关键是推出△ACD≌△BCE和求出∠DBE=90°，难度适中．