Question

19．新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记y_max和y_min，且满足$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{min}＞0}\\{2{y}_{min}＞{y}_{max}}\end{array}\right.$，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x²-2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的性质可求得其最大值和最小值，由三角形函数的定义可得到关于a的不等式组，可求得a的取值范围；
（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，由x的范围可求得其最大值和最小值，满足三角形函数的定义；
（3）由三角形的三边关系可判断函数y=x²-2mx+1为三角形函数，再利用三角形函数的定义分别得到关于m的不等式组，即可求得m所满足的不等式，可求得m的取值范围．

解答 解：
（1）∵当x=0，y_min=a；x=1，y_max=1+a，
∵y=x+a为三角形函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 2a＞1+a\end{array}\right.$，
∴a＞1；

（2）是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线$x=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，0≤x≤1，
∴当$x=\frac{{\sqrt{2}}}{4}，{y_{min}}=\frac{7}{8}，x=1，{y_{max}}=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴${y_{min}}＞0，2{y_{min}}-{y_{max}}=\frac{7}{4}-（2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\frac{{4\sqrt{2}-1}}{8}＞0$，
∴它是三角形函数；

（3）∵对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞c}\\{a+c＞b}\end{array}\right.$，若a为最小，c为最大，则有$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{2b＞c}\end{array}\right.$，同理当b为最小，c为最大时也可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2a＞c}\end{array}\right.$，
∴y=x²-2mx+1是三角形函数，
∵y=x²-2mx+1=（x-m）²-m²+1，
∴对称轴为直线x=m，
①当m≤0时，当x=0，y_min=1，
当x=1，y_max=-2m+2，则2＞-2m+2，解得m＞0，
∴无解；
②当$0＜m≤\frac{1}{2}$，$当x=m，{y_{min}}=-{m^2}+1$，当x=1，y_max=-2m+2，$则\left\{\begin{array}{l}-{m^2}+1＞0\\-2{m^2}+2＞-2m+2\end{array}\right.$，
解得0＜m＜1，
∴$0＜m≤\frac{1}{2}$；
③当$\frac{1}{2}＜m≤1$，$当x=m，{y_{min}}=-{m^2}+1$，当x=0，y_max=1，则$\left\{\begin{array}{l}-{m^2}+1＞0\\-2{m^2}+2＞1\end{array}\right.$，
解得$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}＜m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
④当m＞1，当x=1，y_min=-2m+2，x=0，y_max=1，则$\left\{\begin{array}{l}-2m+2＞0\\-4m+4＞1\end{array}\right.$，
解得$m＜\frac{3}{4}$，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为$0＜m≤\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及新概念、二次函数的性质、不等式组、三角形的三边关系待知识．在（1）（2）中利用三角形函数的定义得到关于m的不等式组是解题的关键，在（3）中判断函数为三角形函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．