【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接AB,做线段AB的垂直平分线l1 , 过点B作x轴的垂线l2 , 记l1 , l2的交点为P.
(1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来发现:这些点P竟然在一条曲线L上!
①设点P的坐标为(x,y),试求y与x之间的关系式,并指出曲线L是哪种曲线;
②设点P到x轴,y轴的距离分别是d1 , d2 , 求d1+d2的范围,当d1+d2=8时,求点P的坐标;
③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折,得到一条“W”形状的新曲线,若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点,直接写出k的取值范围.
【答案】
(1)解:线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,直线l1与l2的交点为P,如图所示,
(2)解:①当x>0时,如图2中,连接AP,作PE⊥y轴于E,
∵l1垂直平分AB,
∴PA=PB=y,
在RT△APE中,∵EP=BO=x,AE=OE﹣OA=y﹣1,PA=y,
∴y2=x2+(y﹣1)2,
∴y= x2+
,
当x<0时,点P(x,y)同样满足y= x2+
,
∴曲线l就是二次函数y= x2+
即曲线l是抛物线.
②∵d1= x2+
,d2=|x|,
∴d1+d2= x2+
+|x|,
当x=0时,d1+d2有最小值 ,
∴d1+d2≥ ,
∵d1+d2=8,则 x2+
+|x|=8,
当x≥0时,原方程化为 x2+
+x﹣8=0,解得x=3或(﹣5舍弃),
当x<0时,原方程化为 x2+
﹣x﹣8=0,解得x=﹣3或(5舍弃),
∵x=±3时,y=5,
∴点P坐标(3,5)或(﹣3,5).
③如图3中,
把y=2代入y= x2+
,解得x=
,
∴直线y=2与抛物线y= x2+
的两个交点为(﹣
,2)和(
,2).
当直线y=kx+3经过点(﹣ ,2)时,2=﹣
k+3
∴k= ,
当直线y=kx+3经过点( ,2)时,2=
k+3,
∴k=﹣ ,
∴直线y=kx+3与这条“W”形状的曲线有四个交点时,k的取值范围是:﹣ <k<
.
【解析】(1)利用尺规作出线段AB的垂直平分线,过点B作出x轴的垂线即可.(2)①分x>O或x<0两种情形利用勾股定理求出x与y的关系即可解决问题.②由题意得d1+d2= x2+
+|x|,列出方程即可解决问题.③求出直线y=2与抛物线y=
x2+
的两个交点为(﹣
,2)和(
,2),利用这两个特殊点,求出k的值即可解决问题.
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【题目】(1)判断下列未知数的值是不是方程2x2+x-1=0的根.
x1=-1,x2=1,x3=.
(2)已知m是方程x2-x-2=0的一个根,求代数式m2-m的值.
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【题目】如图,已知A、B两点的坐标分别为(﹣2,0)、(0,1),⊙C 的圆心坐标为(0,﹣1),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是( )
A.3
B.
C.
D.4
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【题目】已知:如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求证:(1)△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形.
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【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点
(1)求证:△ABM≌△DCM
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD:AB= _时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明)
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等的三角形的对数是______ .
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【题目】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A. 当AB=BC时,它是菱形 B. 当AC⊥BD时,它是菱形
C. 当∠ABC=90°时,它是矩形 D. 当AC=BD时,它是正方形
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