Question

10．已知矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌DCM；
（2）判断四边形MENF是菱形（只写结论，不需证明）；
（3）在（1）（2）的前提下，当$\frac{AD}{AB}$等于多少时，四边形MENF是正方形，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；
（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知条件证出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位线，即可证出EN=FN=ME=MF，得出四边形MENF是菱形；
（3）先证出∠AMB=45°，同理得出∠DMC=45°，证出∠BMC=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{∠A=∠D}&{\;}\\{AM=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：
由（1）得：△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴ME=BE=$\frac{1}{2}$BM，MF=CF=$\frac{1}{2}$CM，
∴ME=MF，
又∵N是BC的中点，
∴EN、FN是△BCM的中位线，
∴EN=$\frac{1}{2}$CM，FN=$\frac{1}{2}$BM，
∴EN=FN=ME=MF，
∴四边形MENF是菱形；
（3）解：当$\frac{AD}{AB}$=2时，四边形MENF是正方形；
证明如下：当$\frac{AD}{AB}$=2时，AB=AM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，
同理：∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的性质以及菱形、正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．