Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）当t=2时，点D的坐标是 ；

（2）请用含t的代数式表示出点D的坐标 ；

（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）D（，）（2）D（，）（3）t=2或3秒.

【解析】

（1）由已知可得点， 再求出的中点坐标，根据相似的性质即可求出点坐标；（2）设出点坐标， 再求出的中点坐标， 根据相似的性质即可求出点坐标；

（3）分类讨论，先判断出可能为直角的角， 再根据勾股定理求解；

解： （1）点从点出发， 沿轴以每秒 1 个单位长的速度向点匀速运动，过点作，垂足为，

，而，

∴，，

∵线段CP的中点绕点按顺时针方向旋转得点，

，.

，

又，，

，

，

，

，，

∴OE=OP+PE=3

点坐标为；

（2）点从点出发， 沿轴以每秒 1 个单位长的速度向点匀速运动，

，而，

，

∵的中点绕点按顺时针方向旋转得点，

，.

，

又，，

，

，

，

，

，，

∴

点坐标为；

（3） 能构成直角三角形 ．

①当时，，

由勾股定理得，，，，

即，

解得，或（舍 去） ．

秒 ．

②当时， 此时点在上，

可知，，

，

，

，

即，秒 ．

综上， 可知当为 2 秒或 3 秒时，能成为直角三角形 ．