Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点Q是BC边的中点，点P是AD边上的一个动点，PE∥DQ交AQ于点E，PF∥AQ交DQ于点F．
（1）四边形PEQF的形状是______．
（2）当P运动到什么位置时，四边形PEQF是菱形？并说明理由．
（3）四边形PEQF______为正方形（填“可能”或“不可能”）．

Answer 1

解：（1）四边形PEQF的形状是平行四边形，
理由是：∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四边形PEQF是平行四边形，


（2）当P运动到AD的中点时，四边形PEQF是菱形，
理由是：∵P为AD中点，
∴AP=PD，
∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，
在△APE和△PDF中

∴△APE≌△PDF（ASA），
∴PE=PF，
∴平行四边形PEQF是菱形；


（3）不可能，
∵假如四边形是正方形，
则∠AQD=90°，
根据SAS推出△ABQ≌△DCQ，
则∠AQB=∠DQC=45°，
∴AB=BQ，CQ=CD，
而已知AB=CD=2，BC=AD=3，
∴AB≠BQ，DC≠CQ，
即不可能是正方形，
故答案为：平行四边形；不可能．
分析：（1）根据PE∥DQ，PF∥AQ推出四边形PEQF是平行四边形即可；
（2）当P运动到AD的中点时，四边形PEQF是菱形，求出AP=PD，根据平行线性质得出∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，证△APE≌△PDF，推出PE=PF，根据菱形的判定推出即可；
（3）不可能，假如四边形是正方形，根据正方形的性质得出∠AQD=90°，推出AB=BQ，CQ=CD，与已知相矛盾．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，菱形、平行四边形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．