Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（    ）

①BC+AD=AB            ②Ｅ为CD中点
③∠AEB=90°           ④S_△ABE=S_{四边形ABCD}

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

D

在AB上截取AF=AD．证明△AED≌△AEF，△BEC≌△BEF．可证4个结论都正确．
解：

在AB上截取AF=AD．
则△AED≌△AEF（SAS）．
∴∠AFE=∠D．
∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°．
∴∠C=∠BFE．
∴△BEC≌△BEF（AAS）．
∴①BC=BF，故AB=BC+AD；
②CE=EF=ED，即E是CD中点；
③∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DEF+∠CEF=×180°=90°；
④S_△AEF=S_△AED，S_△BEF=S_△BEC，
∴S_△AEB=S_{四边形BCEF}+S_{四边形EFAD}=S_{四边形ABCD}．
故选D．
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了截取法构造全等三角形解决问题，难度中等．