Question

【题目】尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．

求证：．

该同学仔细分析后，得到如下解题思路：

先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证．

（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．

（2）利用题中的结论，解答下列问题：

在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5．

【解析】

试题分析：（1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，根据三角形中位线性质得EF∥AB，EF=c，则可判断△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接着根据勾股定理得到，，则，而，所以；

（2）利用（1）的结论得==45，再利用△AEG∽△CEB可计算出AG=1，同理可得DH=1，则GH=1，然后利用GH∥BC，根据平行线分线段长比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代换后可得=5．

试题解析：（1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF为△ABC的中位线，AE=b，BF=a，∴EF∥AB，EF=c，∴△EFP∽△BPA，∴，即=，∴PB=2n，PA=2m，在Rt△AEP中，∵，∴①，在Rt△AEP中，∵，∴②，①+②得，在Rt△EFP中，∵，∴，∴，∴；

（2）∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵E，F分别为线段AO，DO的中点，由（1）的结论得==45，∵AG∥BC，∴△AEG∽△CEB，∴，∴AG=1，同理可得DH=1，∴GH=1，∴GH∥BC，∴，∴MB=3GM，MC=3MH，∴，∴=5．