【题目】(操作)BD是矩形ABCD的对角线,AB=4,BC=3.将△BAD绕着点B顺时针旋转α度(0°<α<360°)得到△BEF,点A、D的对应点分别为E、F.若点E落在BD上,如图①,则DE=______.
(探究)当点E落在线段DF上时,CD与BE交于点G.其它条件不变,如图②.
(1)求证:△ADB≌△EDB;
(2)CG的长为______.
(拓展)连结CF,在△BAD的旋转过程中,设△CEF的面积为S,直接写出S的取值范围.
【答案】[操作]1;[探究](1)见解析;(2);[拓展] S的取值范围为
.
【解析】
[操作】由勾股定理得出BD==5,由旋转的性质得出BE=BA=4,即可得出答案;
[探究](1)由HL证明Rt△ADB≌Rt△EDB即可;
(2)由矩形的性质和折叠的性质得出∠CDB=∠EBD,证出DG=BG,设CG=x,则DG=BG=4﹣x,在Rt△BCG中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
[拓展]由题意得出点C到EF的距离最小时,△CEF的面积最小;点C到EF的距离最大时,△CEF的面积最大;当点E在BC的延长线上时,点C到EF的距离最小,此时CE⊥EF,CE=BE﹣BC=1,由三角形面积公式得出△CEF的面积S最小=EF×CE=
;当点E在CB的延长线上时,点C到EF的距离最大,此时CE⊥EF,CE=BE+BC=7,由三角形面积公式得出△CEF的面积S最大=
EF×CE=
;即可得出答案.
[操作]
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,AD=BC=3,
∴,
由旋转的性质得:BE=BA=4,
∴DE=BD-BE=5-4=1;
故答案为:1;
[探究](1)证明:由旋转的性质得:△BEF≌△BAD,
∴∠BEF=∠A=90°,BE=BA,
∴∠BED=180°-∠BEF=90°=∠A,
在Rt△ADB和Rt△EDB中,,
∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL);
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,CD=AB=4,∠BCD=90°,
∴∠ABD=∠CDB,
由折叠的性质得:∠ABD=∠EBD,
∴∠CDB=∠EBD,
∴DG=BG,
设CG=x,则DG=BG=4-x,
在Rt△BCG中,由勾股定理得:x2+32=(4-x)2,
解得:,即
;
故答案为:;
[拓展] 解:∵△CEF的边长EF=AD=3,
∴点C到EF的距离最小时,△CEF的面积最小;点C到EF的距离最大时,△CEF的面积最大;
当点E在BC的延长线上时,点C到EF的距离最小,如图③所示:
此时CE⊥EF,CE=BE-BC=4-3=1,
△CEF的面积;
当点E在CB的延长线上时,点C到EF的距离最大,如图④所示:
此时CE⊥EF,CE=BE+BC=4+3=7,
△CEF的面积;
∴S的取值范围为.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+4的图象与y轴交于点A,与反比例函数y=的图象的一个交点为M.
(1)求点A的坐标;
(2)连接OM,如果△MOA的面积等于2,求k的值.
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【题目】为了解本校九年级学生期末数学考试情况,在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本,分为(
分)、
(
分)、
(
分)、
(
分)四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下统计图,请你根据统计图解答以下问题:
(1)这次随机抽取的学生共有多少人?
(2)请补全条形统计图.
(3)这个学校九年级共有学生人,若分数为
分(含
分)以上为优秀,请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生大约有多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点的坐标分别为(-1,2)、(1,1).抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于C、D两点,点C在点D左侧,当顶点在线段AB上移动时,点C横坐标的最小值为-2.在抛物线移动过程中,a-b+c的最小值是____.
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【题目】小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏:如图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的三个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果一个转盘转出红色,另一个转盘转出蓝色,那么就能配成紫色.小明和小亮参加这个游戏,并约定:若配成紫色,则小明贏;若两个转盘转出的颜色相同,则小亮赢.这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
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【题目】(2017山东日照)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①抛物线过原点;
②4a+b+c=0;
③a﹣b+c<0;
④抛物线的顶点坐标为(2,b);
⑤当x<2时,y随x增大而增大.
其中结论正确的是( )
A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①②④ D. ①④⑤
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【题目】如图,正方形ABCO的边长为,OA与x轴正半轴的夹角为15°,点B在第一象限,点D在x轴的负半轴上,且满足∠BDO=15°,直线y=kx+b经过B、D两点,则b﹣k=_____.
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