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9.直角三角形的三边的长是正整数,且有一条直角边的长是2008,那么另一条直角边的取值的个数最多为(  )
A.4B.6C.7D.10

分析 设斜边为y,另一直角边为x,则存在y2-x2=20082,题目中要求x、y为整数,根据因式分解可以求出x、y的数值即可解题.

解答 解:设斜边为y,另一直角边为x,
则存在y2-x2=20082
即(y+x)(y-x)=20082
∵20082=2×(2008×1004)=4×(2008×502)=8×(1004×502)=16×(502×502)=32×(251×502)=502×(32×251)=1004×(16×251),
可得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2008×1004}\\{y-x=2}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2008×502}\\{y-x=4}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1004×502}\\{y-x=8}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{x+y=502×502}\\{y-x=16}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{x+y=251×502}\\{y-x=32}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{x+y=32×251}\\{y-x=502}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{x+y=251×16}\\{y-x=1004}\end{array}\right.$
方程组均有整数解,那么另一条直角边的取值的个数最多为7,
故选C.

点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用,考查了因式分解的解题方法,本题中运用因式分解法计算x、y是解题的关键.

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