如图,A、B为⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合),我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。
(1)已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。
① 若AB为⊙O的直径,则∠APB=
② 若⊙O半径为1,AB=,求∠APB的度数
(2)已知为外一点,以为圆心作一个圆与相交于A、B两点,∠APB为上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。
解:(1)①900。
②如图,连接AB、OA、OB.
在△AOB中,∵OA=OB=1.AB=,∴OA2+OB2=AB2。
∴∠AOB=90°。
当点P在优弧 AB 上时(如图1),∠APB=∠AOB=45°;
当点P在劣弧 AB 上时(如图2),
∠APB=(360°-∠AOB)=135°。
(2)根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况.
第一种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图3,
∵∠MAN=∠APB+∠ANB,
∴∠APB=∠MAN-∠ANB。
第二种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图4,
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°-∠ANB),
∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°。
第三种情况:点P在⊙O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图5,
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°,
∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB。
第四种情况:点P在⊙O2内,如图6,
∠APB=∠MAN+∠ANB。
解析
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