Question

已知：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点B（-2

2

，0）在x轴上．连接BP交⊙P于点C，连接AC并延长交x轴于点D．
（1）求线段BC的长；
（2）求直线AC的关系式；
（3）当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：在直角三角形BOP中，根据勾股定理列方程求解；
方法二：延长BP交⊙P于G，根据切割线定理进行计算．
（2）要求直线AC的解析式，关键是求得点C的坐标．过点C作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得CE、CF的长，再根据点C所在的象限写出它的坐标，从而根据待定系数法写出直线的解析式．
（3）要使△BOP相似于△AOD，因为∠OPB＞∠OAD，所以∠OBP=∠OAD，结合圆周角定理，得∠OPB=2∠OBP，从而求得∠OBP=30°，则OB=cot30°•OP=

3

，即可写出点B的坐标，再根据对称性可以写出点B的另一种情况．

解答：解：（1）
法一：由题意，得OP=1，BO=2

2

，CP=1．
在Rt△BOP中
∵BP²=OP²+BO²，
∴（BC+1）²=1²+（2

2

）²，
∴BC=2．
法二：延长BP交⊙P于G，如图所示，由题意，得OB=2

2

，CG=2，
∵OB²=BC•BG，
∴（2

2

）²=BC•（BC+2），
BC=2．

（2）如图所示，过点C作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F．
在△PBO中，
∵CF∥BO，
∴

CF

BO

=

PC

PB

．
即

CF

2 2

=

1

3

，
解得CF=

2 2

3

．
同理可求得CE=

2

3

．
因此C（-

2 2

3

，

2

3

）．
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
把A（0，2），C（-

2 2

3

，

2

3

）两点代入关系式，得

b=2 - 2 2 3 k+b= 2 3

，
解得

b=2 k= 2

．
∴所求函数关系式为y=

2

x+2．

（3）如图所示，在x轴上存在点B，使△BOP与△AOD相似．
∵∠OPB＞∠OAD，
∴∠OPB≠∠OAD．
故若要△BOP与△AOD相似，
则∠OBP=∠OAD．
又∠OPB=2∠OAD，
∴∠OPB=2∠OBP．
∵∠OPB+∠OBP=90°，
∴3∠OBP=90°，
∴∠OBP=30°．
因此OB=cot30°•OP=

3

．
∴B₁点坐标为（-

3

，0）．
根据对称性可求得符合条件的B₂坐标（

3

，0）．
综上，符合条件的B点坐标有两个：
B₁（-

3

，0），B₂（

3

，0）．

点评：此题综合运用了勾股定理、切割线定理、圆周角定理、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定方法．要求能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式．