Question

1．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积．

Answer 1

分析 （1）证明直线BF是⊙O的切线，只需证明∠ABF=90°；
（2）连接DO，EO，根据题意证明△AOD是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，根据勾股定理求出BF的长，根据扇形面积公式：$\frac{n{πr}^{2}}{360°}$求出扇形DOE的面积．

解答 （1）证明：∵∠CBF=∠CFB，
∴CB=CF，
又∵AC=CF，
∴CB=$\frac{1}{2}$AF，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠ABF=90°
∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：连接DO，EO，
∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，
∴∠AOD=60°，
又∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
又∵∠ABF=90°，AD=5，
∴AB=10，
∴BF=10$\sqrt{3}$；
扇形DOE的面积=$\frac{60π{×5}^{2}}{360}$=$\frac{25}{6}$π．

点评 本题考查的是圆的切线的判定和扇形面积的计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线、扇形面积公式：$\frac{n{πr}^{2}}{360°}$是解题的关键．