Question

将正方形ABCD放在如图所示的直角坐标系中，A点的坐标为（4，0），N点的坐标为（3，0），MN平行于y轴，E是BC的中点，现将纸片折叠，使点C落在MN上，折痕为直线EF，
（1）求点G的坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）设点P为直线EF上一点，是否存在这样的点P，使以P、F、G的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）点G的横坐标与点N的横坐标相同，易得EM为BC的一半减去1，为1，EG=CE=2，利用勾股定理可得MG的长度，4减MG的长度即为点G的纵坐标；
（2）由△EMG的各边长可得∠MEG的度数为60°，进而可求得∠CEF的度数，利用相应的三角函数可求得CF长，4减去CF长即为点F的纵坐标，设出直线解析式，把E，F坐标代入即可求得相应的解析式；
（3）以点F为圆心，FG为半径画弧，交直线EF于两点；以点G为圆心，FG为半径画弧，交直线EF于一点；做FG的垂直平分线交直线EF于一点，根据线段的长度和与坐标轴的夹角可得相应坐标．

解答：解：（1）易得EM=1，CE=2，
∵EG=CE=2，
∴MG=

3

，
∴GN=4-

3

；（1分）
G点的坐标为：（3，4-

3

）（3分）；

（2）易得∠MEG的度数为60°，
∵∠CEF=∠FEG，
∴∠CEF=60°，
∴CF=2

3

，
∴OF=4-2

3

，
∴点F（0，4-2

3

）．（6分）
设EF的解析式为y=kx+4-2

3

，
易得点E的坐标为（2，4），
把点E的坐标代入可得k=

3

，
∴EF的解析式为：y=

3

x+4-2

3

（8分）．

（3）P₁（1，4-

3

）、P₂（

3

，7-2

3

），
P₃（-

3

，2

3

-1）、P₄（3，4+

3

）（12分）．

点评：本题综合考查了折叠问题和相应的三角函数知识，难点是得到关键点的坐标；注意等腰三角形的两边相等有多种不同的情况．