Question

1．如图，MN垂直平分线段AB，CD，垂足分别为E，F，求证：AC=BD，∠C=∠D．

Answer 1

分析 连接EC、ED，根据线段垂直平分线的定义和性质得到AB=EB，EC=ED，CF=FD，根据等腰三角形三线合一得到∠CEF=∠DEF，证明△AEC≌△BED，根据全等三角形的性质得到答案．

解答 证明：连接EC、ED，
∵MN垂直平分线段AB，
∴AB=EB，
∵MN垂直平分线段CD，
∴EC=ED，CF=FD，
∴∠ECD=∠EDC，∠CEF=∠DEF，
在△AEC和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠AEC=∠BED}\\{EC=ED}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BED，
∴AC=BD，∠ACE=∠BDE，
又∠ECD=∠EDC，
∴∠C=∠D．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、等腰三角形三线合一是解题的关键．