Question

（1）计算并观察下列各式：（x-1）（x+1）=______；（x-1）（x²+x+1）=______；（x-1）（x³+x²+x+1）=______；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．（x-1）（______）=x⁶-1；
（3）利用你发现的规律计算：（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=______；
（4）利用该规律计算：1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰．

Answer 1

解：（1）（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1，
即答案为：x²-1，x³-1，x⁴-1；
（2）由（1）可以推出：（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+1））=（xⁿ-1），
所以题目中应填：x⁷-1；
（3）根据上面推出的规律可得答案为：x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
（4）1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰=（3-1）（1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰）÷2=．
分析：（1）计算：（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；可以得出规律：（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+1）=（xⁿ-1），所以得出（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（2）利用（1）得出的规律可得出（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 ）=x⁶-1；
（3）利用（1）得出的规律可得出（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
（4）两边乘以（3-1），利用（1）得出的规律可得出1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰=．
点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为：（x-1）（x^n-1+x^n-3+…+1）=（xⁿ-1）．