Question

已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F。

（1）如图（1），若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交AB于点G，求证：FG+DC=AD；
（2）如图（2），若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交AB的延长线于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____；
（3）在（2）的条件下，若，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图（3）），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若，求线段PQ的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=∠ABC=45°， ∴AD=BD， ∵∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠C=90°， ∵∠DAC+∠C=90°， ∴∠CBE=∠DAC， ∴△FDB≌△CDA ∵GF∥BD， ∴∠AGF=∠ABC=45°， ∴∠AGF=∠BAD， ∴FA=FG， ∴FG+DC=FA+DF=AD；
（2）FG-DC=AD；
（3）如图，∵∠ABC=135°， ∴∠ABD=45°， ∵∠ADB=90°， ∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴AD=BD， ∵FG∥BC， ∴∠G=∠DBA=∠DAB， ∴AF=FG， FG2+AF2=AG2， ∴FG=AF=5， ∵DC=3，由（2）知：FG-DC=AD， ∴AD=BD=2， ∴BC=1，DF=3， ∴△FDC为等腰直角三角形， ∴， 分别过B、N作BH⊥FG于点H，NK⊥BC于点K， ∴四边形DFHB为矩形， ∴HF=BD=2，BH=DF=3，BH=HG=3， ∴， ∵sinG=， ∴， 又∵NK=KG，， ∴BK=BG-KG=BC-NK=， ∵∠MBN=∠HBG=45°， ∴∠MBH=∠NBK， ∵∠MHB=∠NKB=90°， ∴△MBH∽△NBK， ∴， ∴MH=1， ∴FM=1， ∵BC∥FG， ∴∠BCF=∠CFN， ∵∠BPC=∠MPF，CB=FM， ∴△BPC≌△MPF， ∴， ∵∠BQC=∠NQF，∠BCF=∠CFN， ∴△BCQ∽△NFQ， ∴， ∴， ∴， ∴。