Question

在数学中，为了简便，记

n

k=1

k=1+2+3+…+(n-1)+n，

10

k=1

((x+k))=（x+1）+（x+2）+…+（x+10）．
（1）请你用以上记法表示：1+2+3+…+2008=

 

；
（2）化简：

10

k=1

(x-k)；
（3）化简：

2008

k=1

(x-k)2-

2007

k=1

(x-k)2-20082；
（4）化简：

3

k=1

[(x-k)(x-k-1)]．

Answer 1

分析：（1）根据题意利用第一个等式，而n=2008，因此即可得到结果；
（2）根据第二个等式知道此题应该求（x-1）+（x-2）+…+（x-10），然后去括号、合并同类项即可求出结果；
（3）根据题意知道此题是求（x-1）²+（x-2）²+…+（x-2008）²-（x-1）²-（x-2）²-…-（x-2007）²-2008²，合并同类项后利用完全平方公式即可求出结果；
（4）此题是求（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4），利用多项式相乘的法则即可求出结果．

解答：解：（1）依题意得1+2+3+…+2008=

2008

k=1

k；

（2）依题意得

10

k=1

(x-k)
=（x-1）+（x-2）+…+（x-10）
=10x-55；

（3）依题意得

2008

k=1

(x-k)2-

2007

k=1

(x-k)2-20082
=（x-1）²+（x-2）²+…+（x-2008）²-（x-1）²-（x-2）²-…-（x-2007）²-2008²
=（x-2008）²-2008²
=x²-4016x；

（4）

3

k=1

[(x-k)(x-k-1)]
=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x²-3x+2+x²-5x+6+x²-7x+12
=3x²-15x+20．

点评：本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，首先要读懂题意，正确理解题目的要求，然后利用运算法则解答．