Question

【题目】如图，抛物线y= x2+ x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6， ）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

（1）求c的值及直线AC的函数表达式；
（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1） 解：把C点坐标代入抛物线解析式可得 ， 解得c=﹣3，∴抛物线解析式为 ， 令y=0可得 ，解得x=﹣4或x=3，∴A（﹣4，0），设直线AC的函数表达式 为y=kx+b（k≠0），把A、C坐标代入可得： ，解得： ，∴直线AC的函数表达式为

（2） 解：①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= = ，在RtAOD中，tan ∠OAD= = ，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；

②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，

则OE=EP，∵点M的横坐标为m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD= ，∴co s∠EAM=cos∠OAD= ，∴ = ，∴AM= AE= ， ∵△APM∽△AON，∴ ， 即 ，∴AN=

【解析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式，求出抛物线解析式，得到点A的坐标，把A、C坐标代入，求出直线AC的函数表达式；（2）根据解直角三角形，得到∠OAB=∠OAD，再由已知条件得到△APM∽△AON；得出比例，求出AN的值.
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质和解直角三角形，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．