【题目】如图,已知,,,斜边,将绕点顺时针旋转,得到,连接.点从点出发,沿方向匀速行动,速度为;同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为;当一个点停止运动,另一个点也停让运动.连接,,交于点.设运动时间为,解答下列问题:
(1)当为何值时,平分?
(2)设四边形的面积为,求与的函教关系式;
(3)在运动过程中,当时,求四边形的面积;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻,使点为线段的中点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3);(4)存在,,理由见解析
【解析】
(1)当平分时,≌,得到AO=NO,继而问题得解;
(2)由,进而求解;
(3)关键当时,得到,建立方程解得t的值继而求解;
(4)关键是过点C作CG//OB,得到∽,有,建立关于t的方程求解即可.
解:(1)当平分时,
∵∠AMO=∠NMO,MO=MO,∠AOB=∠COD,
∴≌(ASA),
∴AO=NO,
∵,,,,
∴NO=AO=,
∴2t=4
∴
(2)如图,分别为的边OM,ON上的高
∵∠AOM=∠NOM=60°
∴,,
OM=4+t,ON=2t,
∴
(3)由知,
,MA=OM-DA,而OA=cos60°×AO=2
∴
∴
∴
∴
(4)存在,理由如下
如图过点C作CG//OB,交MN的延长线于点G ,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,PD=PC
≌
∴MD=CG=t,
由CG//OB,易知∽
又∵,
而ON=2t,CN=8-2t,OM=OD+DM=4+t,
∴
解得:,
经检验,是原方程的解,
故存在某一时刻,使点为线段的中点.
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【题目】如图1所示,在正方形ABCD和正方形中,,连结.
(1)问题发现:_________;
(2)拓展探究:将正方形绕点A逆时针旋转,记旋转角为,连结,试判断:当≤时,的值有无变化?请仅就图2中的情形给出你的证明;
(3)问题解决:请直接写出在旋转过程中,当三点共线时的长.
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【题目】将正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象,沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形,我们称这个三角形为正比例函数y=kx的坐标轴三角形,如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限,且它的坐标轴三角形的面积为5,那么这个正比例函数的解析式是__.
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【题目】如图,点C在以AB为直径的⊙O上,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)连接BC,若cos∠CAD=,⊙O的半径为5,求CD、AE的值.
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【题目】将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.
(1)搅匀后从中摸出1个盒子,求摸出的盒子中是型矩形纸片的概率;
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个盒子,求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
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【题目】某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学”活动,借助某软件平台随机抽取了该校部分学生的在线学习时间,并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请你根据以上信息回答下列问题
(1)本次调查的人数为 , 学习时间为7小时的所对的圆心角为 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若全校共有学生1800人,估计有多少学生在线学习时间不低于8个小时.
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点E、F分别是边AC、BC上的动点,且EF//AB,点C关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上,则CD长为__________.
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