Question

8．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（0，a），（b，0），（a，-b）且a²+b²+4a-4b=-8，连接BC交y轴于点M，N为AC中点，连接NO并延长至D，使OD=ON，连接BD．
（1）求a，b的值；
（2）求∠DBC；
（3）如图2，Q为ON，BC的交点，连接AQ，AB，过点O作OP⊥OQ，交AB于P，过点O作OH⊥AB于H，交BQ于E，请探究线段EH，PH与OH之间有何数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）把a²+b²+4a-4b=-8化成（a+2）²+（b-2）²=0，根据非负数的和等于0，即可求得a，b的值；
（2）根据A（0，-2），B（2，0），C（-2，-2），对称AC∥x轴，从而求得N的坐标，根据中心对称的性质对称D的坐标，然后根据AAS证得△ACM≌△OBM，根据SAS证得△BDE≌△MBO，即可求得∠MBO+∠OBD=90°，从而求得∠DBC=90°；
（3）分别证得四边形ABOC是平行四边形，四边形AHOF是正方形，然后根据三角形中位线定理和三角形全等即可证得2EH=OH-PH．

解答 解：（1）∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（b，0），（a，-b）且a²+b²+4a-4b=-8，
∴（a+2）²+（b-2）²=0，
∴a+2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2；
（2）∵A（0，-2），B（2，0），C（-2，-2），
∴AC∥x轴，
∵N为AC中点，
∴N（-1，-2），
∴AN=1，
∵OD=ON，
∴D和N点关于O点对称，
∴D（1，2），
如图1，作DE⊥OB于E，
∴DE=2，BE=1，
在△ACM和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠OMB}\\{∠CAM=∠BOM=90°}\\{AC=OB=2}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△OBM（AAS），
∴AM=OM=$\frac{1}{2}$OA=1，
在△BDE和△MBO中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=DE=2}\\{∠BOM=∠DEB}\\{OM=BE=1}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△MBO（SAS），
∴∠MBO=∠BDE，
∵∠BDE+∠OBD=90°，
∴∠MBO+∠OBD=90°，
即∠DBC=90°；
（3）延长AQ交OC于F，
∵A（0，-2），B（2，0），
∴OA=OB=2，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC∥OB且AC=OB，
∴四边形ABOC是平行四边形，
∴OC∥AB，且OC=AB，
∵ON是AC的中线，CB是OA的中线，
∴AQ是OC的中线，
∵AC=OA=2，
∴AQ⊥OC，
∴AQ⊥AB，
∴四边形AHOF是正方形，
∴AF=OH，
∵OH=$\frac{1}{2}$AB=AH，OC=AB，
∴OF=OH，
易证得△OFQ≌△OHP，
∴FQ=PH，
∵AH=BH，OH∥AF，
∴EH=$\frac{1}{2}$AQ，
∴EH=$\frac{1}{2}$（AF-FQ）=$\frac{1}{2}$（OH-PH），
∴2EH=OH-PH．

点评 本题考查了坐标和图形的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及三角形中位线定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．