在△ABC中.∠A=60°.∠B=45°.点D是边AB上任意一点.连结CD．(1)如图1.若∠BCD=30°.且BD=2.求线段CD的长．(2)如图2.若∠BCD=15°.以线段CD为边在CD的右上方作正△CDE.连结BE.点F在线段CD上.且CF=BD.连结BF.求证:BE=BF．(3)如图3.若以点C为直角顶点.线段CD为腰在CD的右上方作等腰Rt△CDE.点O是线段DE的中点.连结BO.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，点D是边AB上任意一点，连结CD．
（1）如图1，若∠BCD=30°，且BD=2，求线段CD的长．
（2）如图2，若∠BCD=15°，以线段CD为边在CD的右上方作正△CDE，连结BE，点F在线段CD上，且CF=BD，连结BF，求证：BE=BF．
（3）如图3，若以点C为直角顶点，线段CD为腰在CD的右上方作等腰Rt△CDE，点O是线段DE的中点，连结BO，猜想线段OB与CD有怎样的数量关系，请直接写出结论（不需证明）．

分析（1）作辅助线，构建两个直角三角形，一个是45°的直角△DEB，另一个是30°的直角△CDE，根据等腰三角形的性质得：DE=$\sqrt{2}$，再利用30°角所对的直角边是斜边的一半得：CD=2$\sqrt{2}$；
（2）先根据三角形内角和得：∠ACB=75°，证明△ACD为等边三角形，得∠ADC=60°，由△CDE是等边三边形，可知∠CDE=60°，证明△ECF≌△EDB得：EF=BE，再证明△BEF是等边三角形，从而得出结论；
（3）利用四点共圆和90°的圆周角所对的弦是直径，得圆心为O，直径为DE，从而半径OD=OB，又因为△DCE是等腰直角三角形，根据勾股定理得：DE=$\sqrt{2}$CD，代入可得结论．

解答解：（1）如图1，过D作DE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵BD=2，
∴DE=BE=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△CDE中，∵∠DCE=30°，
∴CD=2DE=2$\sqrt{2}$；
（2）如图2，∵∠A=60°，∠B=45°，
∴∠ACB=180°-60°-45°=75°，
∵∠BCD=15°，
∴∠ACD=75°-15°=60°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=∠DCE=60°，CE=DE，
∴∠BDE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BDE=∠FCE，
∵CF=BD，
∴△ECF≌△EDB，
∴EF=BE，∠CEF=∠BED，
∴∠CEF+∠FED=∠BED+∠FED，
∵∠CEF+∠FED=60°，
∴∠BED+∠FED=60°，
即∠FEB=60°，
∴△FEB是等边三角形，
∴BE=BF；
（3）∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵∠B=45°，点O是线段DE的中点，
∴C、D、B、E四点共圆，且DE为直径，圆心为O，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$DE，
∵DE=$\sqrt{2}$CD，
∴OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD．

点评本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形、等边三角形的性质，难度适中；根据60°和45°角构建等腰直角三角形，这样已知一边就可以求出其它的边长，从而得出最后的结论；本题利用了四点共圆的性质及圆中直径与圆周角定理，巧妙地将OB与CD联系在一起，得出数量关系式．

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