Question

14．如图，在△ABC中，DF经过△ABC的重心，且DF∥AB，DE∥AC，联结EF，如果BC=5，AC=$\sqrt{2}$AB，
求证：（1）△DEF∽△ABC（2）求EF的长．

Answer 1

分析 （1）先判断四边形AEDF为平行四边形，得到∠EDF=∠A，再根据三角形重心性质和平行线分线段成比例定理得到$\frac{DF}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，则CD=2BD，DF=$\frac{2}{3}$AB，接着由DE∥AC得到$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，则DE=$\frac{1}{3}$AC，于是可计算出$\frac{DF}{DE}$=$\frac{2AB}{\sqrt{2}AB}$=$\sqrt{2}$，所以$\frac{DF}{AC}$=$\frac{DE}{AB}$，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；
（2）由△DEF∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例可得线段EF的长．

解答 （1）证明：∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠EDF=∠A，
∵DF经过△ABC的重心G，且DF∥AB，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=2BD，DF=$\frac{2}{3}$AB，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$AC，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{1}{3}AC}$=$\frac{2AB}{AC}$，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{2AB}{\sqrt{2}AB}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{2}$，即$\frac{DF}{AC}$=$\frac{DE}{AB}$，
∵∠EDF=∠A，
∴△DEF∽△ABC；

（2）解：∵△DEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{DE}{AB}$，
∵DE=$\frac{1}{3}$AC，AC=$\sqrt{2}$AB，BC=5，
∴$\frac{EF}{5}$=$\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{\sqrt{2}}AC}$，
∴EF=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．