Question

4．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF；④S_{四边形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，其中正确的结论是①②④．（填写序号即可）

Answer 1

分析 ①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以 $\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，故②正确；
③设EF=a，BF=2a，由AF²=EF•BF=2a²，得AF=$\sqrt{2}$a，所以AF=$\sqrt{2}$EF，故③错误；
④根据△AEF∽△CBF得到 $\frac{EF}{BF}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD，S_{四边形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，即可得到S_{四边形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故④正确．

解答 解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴以 $\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正确，
设EF=a，BF=2a，由AF²=EF•BF=2a²，得AF=$\sqrt{2}$a，所以AF=$\sqrt{2}$EF，故③错误．
∵△AEF∽△CBF，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD，S_{四边形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，即可得到S_{四边形CDEF}=$\frac{5}{2}$S，故④正确，
故答案为：①②④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．