Question

（2012•柳州）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为

2 5

5

（即cosC=

2 5

5

），则AC边上的中线长是

85

10

a或

5

10

a

．

Answer 1

分析：分两种情况：①△ABC的内角∠ABD=45°；②△ABC的外角∠ABD=45°．这两种情况，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长，再利用余弦定理求解．

解答：解：分两种情况：
①如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=

2 5

5

，
∴CD=

2 5

5

a，AD=

5

5

a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=

5

5

a，
∴BC=BD+CD=

3 5

5

a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
=

9

5

a²+

1

4

a²-2×

3 5

5

a×

1

2

a×

2 5

5

=

17

20

a²，
∴BE=

85

10

a；
②如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=

2 5

5

，
∴CD=

2 5

5

a，AD=

5

5

a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=

5

5

a，
∴BC=CD-BD=

5

5

a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
=

1

5

a²+

1

4

a²-2×

5

5

a×

1

2

a×

2 5

5

=

1

20

a²，
∴BE=

5

10

a．
综上可知AC边上的中线长是

85

10

a或

5

10

a．
故答案为

85

10

a或

5

10

a．

点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．