Question

10．如图，抛物线y=x²-x-6交x轴于A、C两点，交y轴于点B；将抛物线y=x²-x-6向上平移$\frac{23}{4}$个单位长度、再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线；若新抛物线的顶点P在△ABC内，则m的取值范围是0＜m$＜\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、BC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．

解答 解：∵y=x²-x-6=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，
∴由题意知新抛物线的解析式可表示为：y=（x-$\frac{1}{2}$+m）²-$\frac{25}{4}$+$\frac{23}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$+m）²-$\frac{1}{2}$，
它的顶点坐标P：（$\frac{1}{2}$-m，-$\frac{1}{2}$）；
由y=x²-x-6可得：A（-2，0），C（3，0），B（0，-6）．
设直线AB的解析式为y=kx-6（k≠0），把x=-2，y=0代入，得
-2k-6=0，k=-3，
∴y=-3x-6．
同理直线BC：y=2x-6；
当点P在直线AB上时，-3（$\frac{1}{2}$-m）-6=-$\frac{1}{2}$，解得：m=$\frac{7}{3}$；
当点P在直线BC上时，2（$\frac{1}{2}$-m）-6=-$\frac{1}{2}$，解得：m=-$\frac{9}{4}$；
∴当点P在△ABC内时，-$\frac{9}{4}$＜m＜$\frac{7}{3}$；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜$\frac{7}{3}$．
故答案是：0＜m＜$\frac{7}{3}$．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．