Question

【题目】在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，由直角三角形的性质和勾股定理可求BC的长，由面积法可求AH的长，可证点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，可得EF=2OEcos30°，当⊙O的直径最小时，EF的长最小，即可求解．

如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，

∵AB=5，∠BAC=60°，BG⊥AC，

∴AG=，BG=AG=，

∵AC=8，AG=，

∴GC=，

∴BC===7，

∵S△ABC=BCAH=ACBG，

∴AH=，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

∴∠AED+∠AFD=180°，

∴点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，

∴∠EOF=120°，

∴EF=2OEcos30°，

∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，

∴AD与AH重合时，EF最小，

∴EF最小值为