Question

5．如图，在平面直角坐标系中，A（$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，1），将△OAB绕点O逆时针旋转至△OA′B′，使点B的对应点B′，落在y轴的正半轴上．
（1）求∠BOA′的度数；
（2）求经过B、B′两点的直线所对应的一次函数表达式，并判断点A′是否在此直线上；
（3）若直线l：y=mx与线段AA′有交点（不与端点重合），直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标找出OA、AB的长度，再根据特殊角的三角函数值求出∠BOA的度数，结合旋转的性质以及角的计算即可得出结论；
（2）根据点B的坐标以及旋转的性质可得出点B′的坐标，利用待定系数法即可求出直线BB′的解析式，过点A′作A′C⊥x轴于点C，根据特殊角的三角函数值找出OC、A′C的长度，进而得出点A′的坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征验证来验证点A′是否在直线BB′上；
（3）分别找出点A、A′在直线上时m的值，由此即可得出当直线l：y=mx与线段AA′有交点（不与端点重合）时m的取值范围．

解答 解：（1）∵A（$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，1），
∴OA=$\sqrt{3}$，AB=1．
在Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴tan∠BOA=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=2，
∴∠BOA=30°．
由旋转的性质可知：∠B′OA′=∠BOA=30°，OB′=OB=2，
∴∠BOA′=90°-∠B′OA′-∠BOA=30°．
（2）∵OB′=2，
∴B′（0，2）．
设经过B、B′两点的直线所对应的一次函数表达式为y=kx+b，
将点B（$\sqrt{3}$，1）、B′（0，2）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{1=\sqrt{3}k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴经过B、B′两点的直线所对应的一次函数表达式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．
过点A′作A′C⊥x轴于点C，如图1所示．
∵∠B′OA′=30°，
∴∠COA′=60°．
在Rt△OCA′中，∠OCA′=90°，OA′=OA=$\sqrt{3}$，
∴OC=OA′•cos∠COA′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A′C=OA′•sin∠COA′=$\frac{3}{2}$，
∴A′（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
当x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
∴点A′在过点B、B′的直线上．
（3）当点A在直线y=mx上时，0=$\sqrt{3}$m，
∴m=0；
当点A′在直线y=mx上时，$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴m=$\sqrt{3}$．
∴若直线l：y=mx与线段AA′有交点（不与端点重合）时，m的取值范围为0＜m＜$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了特殊角的三角函数值、待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标找出∠BOA的度数；（2）利用待定系数法找出经过B、B′两点的直线解析式；（3）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A、A′在直线上时m的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．