Question

【题目】如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）当t= 秒时，则OP= ， S△ABP=；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3．为了证明AQ·BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E．试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3．

Answer 1

【答案】
（1）1,
（2）解：①∵∠A＜∠BOC=60°，

∴∠A不可能是直角．

②如备用图，当∠ABP=90°时，

∵∠BOC=60°，

∴∠OPB=30°．

∴OP=2OB，即2t=2．

∴t=1；

③当∠APB=90°，如图1，

OP=2t，OH=t，PH= t，AH=2+t，HB=1-t，

∵∠APH+∠BPH=90°，∠B+∠BPH=90°，

∴∠APH=∠B．

∴△APH∽△PBH．

∴ ，即 ，

整理得4t2+t-2=0，

解得t1= ，t2= （舍去）

（3）解: 补全图形，如图，

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B．

∵OE∥AP，

∴∠OEB=∠APB=∠B．

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°．

∵∠OEP+∠OEB=180°，

∴∠OEP=∠QAB．

又∵∠AOC=∠OPB+∠B=∠AOQ+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠AOQ=∠OPB．

∴△QAO∽△OEP．

∴ ，即AQEP=EOAO．

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP．

∴ ．

∴OE= AP=1，BP= EP．

∴AQBP=AQ EP= AOOE= ×2×1=3．

【解析】解：（1）作PH⊥AB于H，

∵动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，

∴当t= 秒时，则OP=1，

∵∠BOC=60°，OP=1，

∴PH=OP×sin60°= ，

∴S△ABP= ×AB×PH= ，

【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．