Question

已知关于x的一元二次方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0．
（1）当m为何值时，该方程有两个不相等的实数根？
（2）当m为何值时，该方程有两个相等的实数根？并求出这时方程的根．

Answer 1

分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得△=b²-4ac=（2m-1）²-4×（m-1）×（m-2）=8m-7＞0，且m-1≠0，解不等式即可；
（2）根据方程有两个相等的实数根，可得△=b²-4ac=（2m-1）²-4×（m-1）×（m-2）=8m-7=0，解方程可得m的值，再把m的值代入方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0，解一元二次方程即可．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（2m-1）²-4×（m-1）×（m-2）=8m-7＞0，且m-1≠0，
解得：m＞

7

8

且m≠1；

（2）∵关于x的一元二次方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（2m-1）²-4×（m-1）×（m-2）=8m-7=0，
解得：m=

7

8

，
∴方程变为：-

1

8

x²+

3

4

x+

9

8

=0，
两边同时乘以8得：x²-6x-9=0，
x=

6± 36+36

2×1

=3±3

2

，
则：x₁=3+3

2

，x₂=3-3

2

．

点评：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．