Question

4．如图，正方形ABCD、P为其内一点，BP=1，AP=$\sqrt{7}$，PC=3．
（1）把△ABP绕B顺时针旋转90°，设P对应点P′，画出旋转后的三角形；
（2）连结PP′，求PP′的长；
（3）你能求出∠BP′C的度数吗？

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质和旋转的性质画出P点的对应点P′，则△CBP′为所求；
（2）根据旋转的性质得BP=BP′=1，∠PBP′=90°，则可判断△PBP′为等腰直角三角形，于是PP′=$\sqrt{2}$BP=$\sqrt{2}$；
（3）由旋转的性质得CP′=AP=$\sqrt{7}$，再利用勾股定理的逆定理可证明△PP′C为直角三角形，∠PP′C=90°，而∠PP′B=45°，所以∠BP′C=135°．

解答 解：（1）如图，△CBP′为所作；
（2）∵△ABP绕B顺时针旋转90°得到△CBP′，
∴BP=BP′=1，∠PBP′=90°，
∴△PBP′为等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$BP=$\sqrt{2}$；
（3）∵△ABP绕B顺时针旋转90°得到△CBP′，
∴CP′=AP=$\sqrt{7}$，
在△PP′C中，∵PC=3，P′C=$\sqrt{7}$，PP′=$\sqrt{2}$，
而（$\sqrt{7}$）²+（$\sqrt{2}$）²=3²，
∴P′C²+PP′²=PC²，
∴△PP′C为直角三角形，∠PP′C=90°，
而∠PP′B=45°，
∴∠∠BP′C=90°+45°=135°．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．