Question

（1）探究新知：
①如图1，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点．
求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②如图2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点，试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图3，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D，试探究在抛物线y=ax²+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①由于CD∥AB，所以△ABM和△ABN中，AB边上的高相等，则两个三角形是同底等高的三角形，所以它们的面积相等；
②分别过D、E作AB的垂线，设垂足为H、K；通过证△DAH≌△EBK，来得到DH=KE；则所求的两个三角形是同底等高的三角形，由此得证；
（2）根据A、C的坐标，即可求得抛物线的解析式，进而可求出A、D的解析式；用待定系数法可确定直线AD的解析式；假设存在符合条件的E点，过C作CD⊥x轴于D，交直线AD于H；过E作EF⊥x轴于F，交直线AD于P；根据抛物线的对称轴方程及直线AD的解析式，易求得H点的坐标，即可得到CH的长；设出E点横坐标，根据直线AD和抛物线的解析式，可表示出P、E的纵坐标，即可得到PE的长；根据（1）题得到的结论，当PE=CH时，所求的两个三角形面积相等，由此可列出关于E点横坐标的方程，从而求出E点的坐标．（需注意的是E点可能在直线AD的上方或下方，这两种情况下PE的表达式会有所不同，要分类讨论）

解答：证明：（1）①分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
∴AB∥CD；
∴ME=NF；
∵S_△ABM=

1

2

AB•ME，S_△ABN=

1

2

AB•NF，
∴S_△ABM=S_△ABN（1分）
②解：相等；理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K；
则∠DHA=∠EKB=90°；
∵AD∥BE，
∴∠DAH=∠EBK；
∵AD=BE，
∴△DAH≌△EBK；
∴DH=EK；（2分）
∵CD∥AB∥EF，
∴S_△ABM=

1

2

AB•DH，S_△ABG=

1

2

AB•EK，
∴S_△ABM=S_△ABG；（3分）
解：（2）存在．（4分）
因为抛物线的顶点坐标是C（1，4），
所以，可设抛物线的表达式为y=a（x-1）²+4；
又因为抛物线经过点A（3，0），
所以将其坐标代入上式，得0=a（3-1）²+4，解得a=-1；
∴该抛物线的表达式为y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3；（5分）
∴D点坐标为（0，3）；
设直线AD的表达式为y=kx+3，
代入点A的坐标，得0=3k+3，解得k=-1；
∴直线AD的表达式为y=-x+3；
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H；则H点的纵坐标为-1+3=2；
∴CH=CG-HG=4-2=2；（6分）
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为-m²+2m+3；
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3-m，EF∥CG；
由﹙1﹚可知：若EP=CH，则△ADE与△ADC的面积相等；
①若E点在直线AD的上方，
则PF=3-m，EF=-m²+2m+3，
∴EP=EF-PF=-m²+2m+3-（3-m）=-m²+3m；

∴-m²+3m=2，
解得m₁=2，m₂=1；（7分）
当m=2时，PF=3-2=1，EF=1+2=3；
∴E点坐标为（2，3）；
同理当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合；（8分）
②若E点在直线AD的下方，
则PE=（3-m）-（-m²+2m+3）=m²-3m；（9分）
∴m²-3m=2，
解得m3=

3+ 17

2

，m4=

3- 17

2

；（10分）
当m=

3+ 17

2

时，E点的纵坐标为3-

3+ 17

2

-2=-

1+ 17

2

；
当m=

3- 17

2

时，E点的纵坐标为3-

3- 17

2

-2=

-1+ 17

2

；
∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E₁（2，3）；E₂（

3+ 17

2

，-

1+ 17

2

）；E₃（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）．（12分）

点评：此题主要考查了平行线的性质、三角形面积的求法、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法等知识；同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求高，难度较大．