Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E是AB边上一点，过E作ED⊥BC，EF⊥AC．已知AC=3，BC=4，AE=2，则四边形CDEF的周长为

34

5

．

Answer 1

分析：求出AB，求出BE，得出矩形CFED，推出CF=DE，EF=CD，EF∥BC，设CD=EF=x，CF=DE=y，则AF=3-y，BD=4-x，证△AFE∽△EDB，得出比例式，代入得出

3-y

y

=

x

4-x

=

2

3

，求出x、y即可．

解答：解：在△ABC中，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，
∵AE=2，
∴BE=3，
∵ED⊥BC，EF⊥AC，∠C=90°，
∴∠AFE=∠EDB=90°，∠C=∠CFE=∠EDC=90°，
∴四边形CFED是矩形，
∴CF=DE，EF=CD，EF∥BC，
设CD=EF=x，CF=DE=y，
则AF=3-y，BD=4-x，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，
∵∠AFE=∠WDB，
∴△AFE∽△EDB，
∴

AF

DE

=

EF

BD

=

AE

BE

=

2

3

，
∴

3-y

y

=

x

4-x

=

2

3

，
解得：x=

8

5

，y=

9

5

，
即CD=EF=

8

5

，CF=DE=

9

5

，
∴四边形CDEF的周长是CD+DE+EF+CF=2×（

8

5

+

9

5

）=

34

5

．
故答案为：

34

5

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合应用，题目综合性比较强，有一定的难度．