Question

【题目】问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）

实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．

如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+．

如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长．

Answer 1

【答案】问题呈现：证明见解析；实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣；（3）.

【解析】试题分析：只要说明S△HGE=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，由此可得S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形ABCD；
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1．根据S△EHC1=S矩形AEC1H，S△HGD1=S矩形HDGD1，S△EFB1=S矩形EBFB1，S△FGA1=S矩形CFA1G，即可证明；
迁移应用：利用探究的结论即可解决问题．

试题解析：

如图中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠A=90°，

∵AE=DG，

∴四边形AEGD是矩形，

∴S△HGE=S矩形AEGD，

同理S△EGF=S矩形BEGC，

∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形ABCD．

故答案为：S四边形EFGH=S矩形ABCD．

实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．

理由：∵S△EHC1=S矩形AEC1H，S△HGD1=S矩形HDGD1，S△EFB1=S矩形EBFB1，S△FGA1=S矩形CFA1G，

∴S四边形EFGH=S△EHC1+S△HGD1+S△EFB1+S△FGA1﹣S矩形A1B1C1D1，

∴2S四边形EFGH=2S△EHC1+2S△HGD1+2S△EFB1+2S△FGA1﹣2S矩形A1B1C1D1，

∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．

故答案为：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1

迁移应用：解：（1）如图中，

∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．

∴S矩形A1B1C1D1=25﹣2×9=7=A1B1A1D1，

∵正方形的面积为25，

∴边长为5，

∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，

∴A1D1=2，A1B1=，

∴EG2=A1B12+52= ，

∴EG=

故答案为：．