Question

17．已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△ABC中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，若点M、N分别是DB、EC的中点，证明：MN⊥EC，MN=$\frac{1}{2}$EC．

Answer 1

分析 当点E在AB上且点C和点D重合时，利用等腰直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出MN与EC的位置关系和MN与EC的数量关系．

解答 证明：∵当点E在AB上且点C和点D重合时，点M、N分别是DB、EC的中点，
∴MN是△BED的中位线，
∴MN∥BE，MN=$\frac{1}{2}$BE，
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，
∴BE=DE，∠AED=90°，
∴MN⊥EC，MN=$\frac{1}{2}$EC．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．