Question

如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE，CD相交于0．
（1）若0B=0C，求证：∠1=∠2；
（2）若∠1=∠2，求证：0B=0C．

Answer 1

分析：（1）要证∠1=∠2，只需证DO=EO．可通过证△BDO≌△CDO（AAS）来实现；
（2）欲证明0B=0C，只需证明OB、OC所在的两个三角形：△ABO与△ACO全等，利用全等三角形的对应边相等证得结论．

解答：证明：（1）∵如图，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠B=∠C（同角的余角相等）．
∴在△BDO与△CDO中，

∠ODB=∠OEC ∠B=∠C OB=OC

，
∴△BDO≌△CDO（AAS），
∴OD=OE，
∴∠1=∠2；

（2）由（1）知，∠B=∠C．
∵在△ABO与△ACO中，

∠B=∠C ∠1=∠2 AO=AO

，
∴△ABO≌△ACO（AAS），
∴OB=OC．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答（1）题的关键．