Question

9．已知在△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，CE、AD分别为∠C、∠A的角平分线，求证：EF=FD．

Answer 1

分析 根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠AFE=60°，∠AFC=120°，在AC上截取AG=AE，利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AFG=∠AFE，全等三角形对应边相等可得FE=FG，然后求出∠CFG=∠CFD=60°，再利用“角边角”证明△CDF和△CGF全等，根据全等三角形对应边相等可得FD=FG，从而得证．

解答 证明：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC与∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠AFE=60°，∠AFC=120°，
如图，在AC上截取AG=AE，
则在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFG=∠AFE=60°，FE=FG，
∴∠CFG=∠CFD=60°，
在△CDF和△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFG=∠CFD}\\{CF=CF}\\{∠ACE=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CGF（ASA），
∴FD=FG，
∴FE=FD．

点评 本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造成两对全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．