Question

如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB：y=分别交x、y轴于点A、B，过点A画AC⊥AB，且AC=AB，连接BC得△ABC，将△ABC沿x轴正方向平移后得△A′B′C′．
（1）点B的坐标是______，点C的坐标是______
（2）平移后当顶点C′正好落在直线AB上，求平移的距离和点B′的坐标；
（3）如图2，将△A′B′C′从（2）的位置开始继续向右平移，连接OB′、OC′，问当点B′在何位置时，△OB′C′的面积是△ABC面积的倍？请你求出点B′的坐标．

Answer 1

解：（1）∵直线AB解析式为：y=，
∴点B的坐标为（0，1），点A的坐标为（-2，0），
过点C作CE⊥x轴于点E，
则AC=AB==，
∵∠ACE=∠BAO（同角的余角相等，都是∠CAE的余角），
∴sin∠ACE=sin∠BAO==，
∴AE=1，CE=2，
∴点C的坐标为（-3，2）．
（2）∵点C在直线y=x+1上，点C'的纵坐标为2，
∴x+1=2，
解得：x=2，即可得点C'的坐标为（2，2），
则平移距离=2-（-3）=5，点B'的坐标为（5，1）．
（3）过点B'作B'M⊥x轴于点M，过点C'作C'N⊥x轴于点N，
S_△ABC=AC×AB=，
设点B'的坐标为（m，1），点C'坐标（m-3，2），
S_△OB'C'=S_梯形BMNC'+S_△OC'N-S_△OB'M=×（1+2）×3+（m-3）×2-m×1=m+，
∵△OB′C′的面积是△ABC面积的倍
∴m+=×，
解得：m=9，
故可得点B'的坐标为（9，1）．
分析：（1）根据直线AB解析式可得出点B的坐标，过点C作CE⊥x轴于点E，求出AE、CE即可得出点C的坐标；
（2）平移后点C的纵坐标不变，将点C纵坐标代入，可求出横坐标，然后可确定平移距离，继而得出点B'的坐标．
（3）根据（1）所求的坐标，可设点B'的坐标为（m，1），点C'坐标（m-3，2），根据S_△OB'C'=S_梯形BMNC'+S_△OC'N-S_△OB'M=×S_△ABC，可得出关于m的方程，解出即可得出答案．
点评：本题考查了一次函数综合题，注意学会点的坐标与线段长度之间的转化，要求能根据直线解析式确定点的坐标，在第三问的求解中，关键是利用差值法表示出△OB'C'的面积，此题难度较大，注意一步一步的分析．