Question

已知，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）如图：若C为∠AOB内一点，探究∠MON与∠AOB的数量关系；
（2）若C为∠AOB外一点，且C不在OA、OB的反向延长线上，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义得到∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，然后利用∠MOC+∠NOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC即可得到∠MON=

1

2

∠AOB；
（2）分类讨论：直线OA和OB把平面分成四个部分，（1）中讨论了一个部分，然后再其他三个部分进行讨论：如图1，由于∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，利用∠MOC-∠NOC=

1

2

∠AOC-

1

2

∠BOC即可得到∠MON=

1

2

∠AOB；如图2，由于∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，利用∠NOC-∠MOC=

1

2

∠BOC-

1

2

∠AOC即可得到∠MON=

1

2

∠AOB；如图3，由于∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，利用∠MOC+∠NOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC=

1

2

（360°-∠AOB）即可得到∠MON=180°-

1

2

∠AOB．

解答：解：（1）∵OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，
∴∠MOC+∠NOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC=

1

2

∠AOB，
即∠MON=

1

2

∠AOB；
（2）如图1，∵OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，
∴∠MOC-∠NOC=

1

2

∠AOC-

1

2

∠BOC=

1

2

∠AOB，
即∠MON=

1

2

∠AOB；
如图2，∵OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，
∴∠NOC-∠MOC=

1

2

∠BOC-

1

2

∠AOC=

1

2

∠AOB，
即∠MON=

1

2

∠AOB；
如图3，∵OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠NOC=

1

2

∠BOC，
∴∠MOC+∠NOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC=

1

2

（360°-∠AOB）
即∠MON=180°-

1

2

∠AOB．

点评：本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．