Question

2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴相交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根，且OA＜OB．
（1）写出点A、B的坐标；
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，且AB²=OB•BC，求直线AC的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AC上，平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程可求得OA、OB的长，则可求得A、B的坐标；
（2）在Rt△AOB中利用勾股定理可求得AB的长，结合条件可求得OC的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC解析式；
（3）可先判断AB⊥AC，可知BN∥AC，则可求得直线BN的解析式，可设出N点坐标，根据BN=AB，可求得N点坐标．

解答 解：
（1）解方程x²-14x+48=0可得x=6或x=8，
∵OA、OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根，且OA＜OB，
∴OA=6，OB=8，
∴A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵AB²=OB•BC，
∴10²=8BC，解得BC=$\frac{25}{2}$，
∴OC=BC-OB=$\frac{25}{2}$-8=$\frac{9}{2}$，
∴C（0，$\frac{9}{2}$），
设直线AC解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$；
（3）在△AOB和△ABC中，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{10}{\frac{25}{2}}$=$\frac{4}{5}$，$\frac{OB}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{AB}$，且∠ABO=∠CBA，
∴△AOB∽△CAB，
∴∠CAB=∠AOB=90°，即AB⊥AC，
若以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，则BN∥AC，
∴可设直线BN的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b′，
把B点坐标代入可得b′=8，
∴直线BN解析式为y=$\frac{3}{4}$x+8，
∴可设N点坐标为（x，$\frac{3}{4}$x+8），
∵BN=AB=10，
∴x²+（$\frac{3}{4}$x+8-8）²=10²，解得x=8或x=-8，
∴N（-8，2）或（8，14），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（-8，2）或（8，14）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、勾股定理、待定系数法、相似三角形的性质和判定、正方形的性质、方程思想等知识．在（1）中求得OA、OB的长是解题的关键，在（2）中求得C点坐标是解题的关键，在（3）中确定出N点所在直线的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．