Question

4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，连接EF．
（1）判断△OFE的形状，并说明理由；
（2）若∠BOC=120°，EF=3，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，由AAS证明△BOE≌△COF，得出对应边相等OE=OF即可；
（2）证明△AOB是等边三角形得出OA=OB，证出AE=OE，得出OB=2OE，OC=2OE=2OF，证明△OEF∽△OCB，得出对应边成比例，即可得出BC=2EF=6．

解答 解：（1）△OFE是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠OEB=∠OFC=90°，
在△BOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFC}&{\;}\\{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴△OFE是等腰三角形；
（2）∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB，
∵BE⊥AC，
∴AE=OE，
∴OB=2OE，
∴OC=2OE=2OF，
∴OE：OC=OF：OB，
又∵∠EOF=∠COB，
∴△OEF∽△OCB，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴BC=2EF=6．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．