Question

【题目】如图，点D是以AB为直径的半圆O上一点，连接BD，点C是的中点，过点C作直线BD的垂线，垂足为点E．

求证：（1）CE是半圆O的切线；

（2）BC2＝ABBE．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ABC＝∠DBC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠OCB＝∠CBD，推出OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；

（2）连接AC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．

证明：（1）连接OC，

∵点C是的中点，

∴，

∴∠ABC＝∠DBC，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCB＝∠CBD，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BE，

∴OC⊥CE，

∴CE是半圆O的切线；

（2）连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CE⊥BE，

∴∠E＝90°，

∴∠E＝∠ACB，

∵∠ABC＝∠CBD，

∴△ABC∽△CBE，

∴，

∴BC2＝ABBE．