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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持精英家教网DE∥BC，DF∥AC．
    （1）试写出四边形DFCE的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
    （2）试求出当t为何值时四边形DFCE的面积为20cm2？
    （3）四边形DFCE的面积能为40吗？如果能，求出D到A的距离；如果不能，请说明理由．
    （4）四边形DFCE的面积S（cm2）有最大值吗？有最小值吗？若有，求出它的最值，并求出此时t的值．
    分析：（1）可用t分别表示出AD、DE、BD、BF的长，由△ABC、△ADE、△BDF的面积差即可求得S、t的函数关系式．
    （2）将S的值代入（1）的函数关系式中，即可求得t的值．
    （3）将S=40代入（1）的函数解析式中，如果所得方程有解，根据求得的t值即可确定D到A的距离，若方程无解，则说明四边形的面积不能成为40．
    （4）将（1）的解析式化为顶点坐标式，利用二次函数最值的相关知识进行求解即可．
    解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，
    ∴∠A=∠C=45°，
    ∵DE∥BC，DF∥AC，
    ∴∠AED=∠C=∠A，∠BFD=∠C=45°，∠BDF=∠A=45°，∠EDA=∠B=90°，
    ∴AD=DE=2t，BD=BF=12-2t
    ①S=
    1
    2
    ×12×12-
    1
    2
    ×2t×2t-
    1
    2
    （12-2t）2=-4t2+24t（0≤t≤6）．

    ②当S=20时，-4t2+24t=20，
    t2-6t+5=0，
    解得t1=5，t2=1；
    因此当t=1s或5s时，四边形的面积为20cm2．

    ③当S=40时，-4t2+24t=40，
    t2-6t+10=0，
    ∵△=36-40＜0，
    ∴四边形的面积不能为40．

    ④四边形面积有最大值，
    S=-4t2+24t=-4（t-3）2+36；
    当t=3时，有最大值36，
    此时D离A点6cm，D为AB的中点．
    点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用，难度适中．
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