Question

（2009•宁波）已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，=，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF．
（2）连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD=，求线段AD、CD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据=，运用垂径定理的推论得到AB⊥CD；根据切线的性质定理得到AB⊥BE，从而证明平行；
（2）根据圆周角定理得到∠A=∠C．根据直径所对的圆周角是直角，得到直角△ABD．再结合锐角三角函数的概念求解．
解答：（1）证明：∵直径AB平分，
∴AB⊥CD．
∵BF与⊙O相切，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BF．
∴CD∥BF．

（2）解：连接BD，BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，
∵cos∠BAF=cos∠BCD=，AB=4×2=8．
∴AD=AB•cos∠BAF=8×=6．
∵AB⊥CD于E，
在Rt△AED中，cos∠BAF=cos∠BCD=，sin∠BAF=．
∴DE=AD•sin∠BAF=6×．
∵直径AB平分，
∴CD=2DE=3．
点评：熟练运用垂径定理的推论、切线的性质定理、圆周角定理及其推论．能够利用锐角三角函数的知识解直角三角形．