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如图一,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,D为AB中点,E为BC上一点,且DE⊥AB垂足为D. 
(1)求证:DE=EC; 
(2)如图二,点F在ED延长线上,连接BF,AF,作AF的垂直平分线交EC于点G,连接FG.请探究BF与GF之间的数量关系,并证明你的结论.
考点:全等三角形的判定与性质,勾股定理
专题:
分析:(1)连接AE,根据垂直平分线的性质定理证得BE=AE,根据等边对等角得出∠DAE=∠B=30°,由于在直角三角形ABC中∠BAC=60°,从而证得AE是角的平分线,根据角的平分线的性质定理即可证得DE=EC.
(2)作FI⊥BC于I,作FJ⊥AC于J,连接AG,设BI=x,IG=y,FI=z,AC=1,则BC=
3
,由于BF2=BI2+FI2=x2+z2,FG2=FI2+GI2=z2+y2,AF2=AJ2+FJ2=(1-z)2+(
3
-x)2,AG2=AC2+GC2=1+(
3
-x-y)2,根据线段的垂直平分线的性质定理即可求得BF=FA,FG=AG,从而列出方程,解方程组可得x2-
3
x+
3
y-xy=0,从而证得x=y,即I是BG的中点,根据线段的垂直平分线的性质定理即可得出BF=GF.
解答:(1)证明:如图1,连接AE,
∵D为AB中点,且DE⊥AB,
∴BE=AE,
∴∠DAE=∠B=30°,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,
∴∠EAC=30°,
∴∠DAE=∠CAE=30°,
∵DE⊥AB,EC⊥AC,
∴DE=EC.

(2)BF=GF;
证明:作FI⊥BC于I,作FJ⊥AC于J,连接AG,
设BI=x,IG=y,FI=z,AC=1,则BC=
3

在RT△BFI中,BF2=BI2+FI2=x2+z2
在RT△FGI中,FG2=FI2+GI2=z2+y2
在RT△AFJ中,AF2=AJ2+FJ2=(1-z)2+(
3
-x)2
在RT△AGC中,AG2=AC2+GC2=1+(
3
-x-y)2
∵D为AB中点,且DE⊥AB,
∴BF=FA,
∵作AF的垂直平分线交EC于点G,
∴FG=AG,
∴x2+z2=(1-z)2+(
3
-x)2,z2+y2=1+(
3
-x-y)2
联立这两个方程得:x2-
3
x+
3
y-xy=0,
即x=y,
∴I是BG的中点,
∵FI⊥BC于I,
∴BF=GF.
点评:此题考查了全等三角形的判定与性质,线段的垂直平分线的性质定理,勾股定理的应用,熟练掌握性质定理是解本题的关键.
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