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12.如图,抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c过A(0,2),B(1,3),CB⊥x轴于点C,四边形CDEF为正方形,点D在线段BC上,点E在此抛物线上,且在直线BC的左侧,则正方形CDEF的边长为$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$.

分析 先利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2,再设正方形CDEF的边长为a,利用BC⊥x轴和B点坐标可表示出D(1,a),根据正方形的性质可表示出E(1-a,a),接着把E(1-a,a)代入y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2得到关于a的一元二次方程,然后解一元二次方程即可确定正方形CDEF的边长.

解答 解:把A(0,2),B(1,3)代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-\frac{1}{2}+b+2=3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$,
所以二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2,
设正方形CDEF的边长为a,则D(1,a),E(1-a,a),
把E(1-a,a)代入y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2得-$\frac{1}{2}$(1-a)2+$\frac{3}{2}$(1-a)+2=a,
整理得a2+3a-6=0,解得a1=$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$,a2=$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$(舍去),
所以正方形CDEF的边长为$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$.
故答案为$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$.

点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质;理解坐标与图形性质;会利用待定系数法求二次函数解析式;会解一元二次方程.

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