Question

12．如图，点D、E分别是等边△ABC的边AB、AC上的点，满足BD=AE，连结CD、BE交于点O．已知BO=2，CO=5，则AO的长为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{21}$
• C． 4
• D． $\sqrt{19}$

Answer 1

分析 由等边三角形的性质知BA=CB，∠BAE=∠CBD=60°，证△DBC≌△EAB得∠BCD=∠ABE，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBP，连接OP，即可知△BPO是等边三角形，从而得∠BOP=60°、OP=BO=2、∠POC=∠BOC-∠BOP=60°，作PF⊥OC，即可求得OF=OPcos60°=1、PF=OPsin60°=$\sqrt{3}$，继而知CF=CO-OF=4，再根据AO=PC=$\sqrt{P{F}^{2}+C{F}^{2}}$可得答案．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA=CB，∠BAE=∠CBD=60°，
在△DBC和△EAB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CB=BA}\\{∠BAE=∠CBD}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△EAB（SAS），
∴∠BCD=∠ABE，
如图，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBP，连接OP，

则△BPO是等边三角形，
∴∠BOP=60°，OP=BO=2，
∴∠POC=∠BOC-∠BOP=60°，
作PF⊥OC于点F，则
OF=OPcos60°=1，PF=OPsin60°=$\sqrt{3}$，
∴CF=CO-OF=4，
在Rt△PFC中，PC=$\sqrt{P{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{19}$，
则AO=PC=$\sqrt{19}$，
故选：D．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数的应用、旋转的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键．