Question

如图，一元二次方程x²+2x﹣3=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，则P点坐标为（    ），G点坐标为（    ）；
（3）在x轴上有一动点M，当MG+MA取得最小值时，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）解方程x²+2x﹣3=0
得x₁=﹣3，x₂=1．
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（﹣3，0），B（1，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）．
∵A（3，6）在抛物线上，
∴6=a（3+3）·（3﹣1），
∴a=，
∴抛物线解析式为y=x²+x﹣．
（2）由y=x²+x﹣=（x+1）²﹣2，
∴抛物线顶点P的坐标为（﹣1，﹣2），对称轴方程为x=﹣1．
设直线AC的方程为y=kx+b，
∵A（3，6），C（﹣3，0）在该直线上，
∴，
∴直线AC的方程为：y=x+3．
将x=﹣1代入y=x+3得y=2，
∴G点坐标为（﹣1，2）．
（3）作A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），连接A′G，A′G与x轴交于点M即为所求的点．
设直线A′G的方程为y=kx+b．
∴，
∴直线A′G的方程为y=﹣2x，
令x=0，则y=0．
∴M点坐标为（0，0）．