Question

在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处．如图1，已知点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其右侧（AO下方）区域的速度为20cm/秒，在射线AO的左侧（AO上方）区域的速度为10cm/秒．
（1）分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间（精确到秒）；
（2）若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间（精确到秒）；
（3）如图2，作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E，交OA于P．试说明：从A出发到达B处，机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短．
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知先求出沿A→O→B路线行进所用时间，然后由勾股定理求出AB，从而求出沿A→B路线行进所用时间；
（2）首先解Rt△OBC，运用三角函数求出BC，继而得出AC，从而求出沿A→C→B路线到达B处所用的时间；
（3）在AO上任取异于点P的一点P′，作P′E′⊥AD于E′，连接P′B，分别求出沿A→P→B路线行进所用时间和沿A→P′→B路线行进所用时间进行比较得出结论．
解答：解：（1）沿A→O→B路线行进所用时间为：600÷20+300÷10=60（秒），（1分）
在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300（cm）．（2分）
∴沿A→B路线行进所用时间为：300÷10≈300×2.236÷10≈67（秒）．（3分）

（2）在Rt△OBC中，OB=300，∠OCB=45°，∴OC=OB=300cm，BC==300（cm）（4分）
∴AC=600-300=300（cm）．
∴沿A→C→B路线行进所用时间为：AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57（秒）．

（3）在AO上任取异于点P的一点P′，作P′E′⊥AD于E′，连接P′B，
在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°==，∴EP=，E′P′=．（7分）
∴沿A→P→B路线行进所用时间为：AP÷20+PB÷10=EP÷10+PB÷10=（EP+PB）÷10=BE（秒），
沿A→P′→B路线行进所用时间为：
AP′÷20+P′B÷10=E′P′÷10+P′B÷10=（E′P′+P′B）÷10=（E′P′+P′B）（秒）．（8分）
连接BE′，则E′P′+P′B＞BE′＞BE，∴BE＜（E′P′+P′B）．
∴沿A→P→B路线行进所用时间，小于沿A→P′→B路线行进所用时间．
即机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短．（9分）
点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是运用三角函数和勾股定理求出路线长．